中1数学

【中1数学】「立体の表面積」の問題 どこよりも簡単な解き方・求め方

今回は

「柱体」「錐体」「球」の

「表面積」

の求め方を学習します

表面積

図形の表面の面積のこと

(図形の触ることができる部分です)

では、一緒に

やっていきましょう

柱体の表面積

「表面積」を

求める時ですが

ノートのように

図形の「展開図」を

書くと簡単に

求めることができます

展開図

立体を切り開いた図のこと

(1)の「角柱」は

簡単に長さを

求めることができますね

(2)の「円柱」ですが

「側面の横の長さ」を

求めるのに少しコツが

あります

円柱の

側面の横の長さ=底面の円周

で求めることができます

では、まとめましょう

柱体の表面積

=底面積×2+側面積

(側面積=柱体の高さ×底面の周りの長さ)

錐体の表面積

「角柱」の時と

同じように

「展開図」を書くと

求めることができます

角錐の表面積

=底面積+側面積

(側面積=合同な二等辺三角形×4)

円錐の表面積

今回の単元で

「一番重要な問題」です

まず「円錐」の

「展開図」ですが

「円」と「おうぎ形」

になります

ここで重要なのが

おうぎ形の

「中心角」

です

ノートの右を

見てください

「円柱」の時と

同じように

側面(おうぎ形)の

弧の長さ=底面の円周

になります

これを使って

中心角を$a$として

方程式を作り

求めています

毎回、こんな計算をするのは

大変ですね…

$a=\frac{3}{9}×360$

この式に注目しましょう

この$\frac{3}{9}$は

おうぎ形の

円の割合(どれだけか)を

表しています

そして

  • 分母の「9」は円錐の「母線」
  • 分子の「3」は底面の「半径」

になります

これを使うと

円錐の側面の

おうぎ形の中心角$a$

$a=360×\frac{半径}{母線}$

で求めることができます

さらに

側面積(おうぎ形)

を求める時の

$π$×半径×半径×$\frac{中心角}{360}$の

$\frac{中心角}{360}$」の

代わりに

割合である

「$\frac{半径}{母線}$」を

使うことができます

円錐の表面積

=底面積+側面積

(底面積=$π$×$半径^2$)

(側面積=母線×$π$×半径)

この公式は

とても重要なので

しっかり確認しておきましょう

練習問題

公式を使うと

「展開図」を

書かなくても

答えを求めることが

できました

球の表面積

「球の表面積」は

「球」がきっちり入る

「円柱の側面積」と

同じになるという性質

があります

(詳しくは高校数学です…)

これは

このまま覚えてください

球の表面積

(球の半径をrとすると)

$4πr^2$

となります

(1)は

この公式を使うと

簡単に求めることができます

(2)は

「半円」なので

球の表面積×$\frac{1}{2}$を

しますね

そして底にある

「円の面積」を

忘れず足してくださいね

回転体の表面積

この問題で

間違えやすいのは

円柱の中心の

空洞になっている部分です

この部分

(底面の半径2cmの

円柱の側面積)を

足すことを

忘れないように

気をつけてください

立体の表面積のまとめ

・表面積

図形の表面の面積のこと

・展開図

立体を切り開いた図のこと

・柱体の表面積

底面積×2+側面積

(側面積=柱体の高さ×底面の周りの長さ)

・角錐の表面積

底面積+側面積

(側面積=合同な二等辺三角形×4)

・円錐の側面のおうぎ形の中心角

$360×\frac{半径}{母線}$

・円錐の表面積

底面積+側面積

(底面積=$π$×$半径^2$)

(側面積=母線×$π$×半径)

・球の表面積

(球の半径をrとすると)

$4πr^2$

かずのかず

以上、「数学嫌いな人が、

数学を楽しく好きになって欲しい」

かずのかずぶろぐでした