中3数学

【中3数学】「相似な立体の表面積・体積」の問題 どこよりも簡単な解き方・求め方

前回は

相似を使った

「平面図形」の

「面積比」について

学習しました

【中3数学】「相似比と面積比」の問題 どこよりも簡単な解き方・求め方前回は、図形の問題でよく利用する「角の二等分線定理」「中点連結定理」を学習しました 今回は、「相似比」を使った「面積比」について一緒に見ていきましょう...

今回は

「立体(空間図形)」の

「表面積・体積の比」

について

一緒に見ていきましょう

相似な立体の表面積・体積の比

まずは

立方体で

考えてみましょう

表面積は

前回の面積と同じく

「表面積の比」は

「線分比」の「2乗」になりました

次に「体積」です

立方体の体積は

「一辺×一辺×一辺」

で求めるので

「体積の比」は

「線分比」の「3乗」になりました

次に

「球」でも

確認してみます

球の公式

大丈夫でしょうか

球の(半径を$r$とする)

  • $表面積=4πr^2$
  • $体積=\frac{4πr^3}{3}$

立方体と

同じように

  • 表面積の比→線分比の「2乗」
  • 体積の比→線分比の「3乗」

になります

このように

どのような図形でも

「表面積の比」は

「相似比」の「2乗」になり

「体積の比」は

「相似比」の「3乗」になる

ことが分かりました

相似な円錐

先ほどの

「体積の比は、相似比の3乗」

を利用して

円錐の体積を

求めましょう

ノート右下に

まとめていますが

Qの体積について

体積比(割合)で

考えると

P:円錐=1:27 なので

P:Q

=1:(27-1)=1:26 より

Q=円錐×$\frac{26}{27}$

で求めることができました

相似な三角錐

立体 CPQーGHF

の形は大丈夫でしょうか

ノートにあるように

「三角錐から、

上部の小さな三角錐を除いた立体」

「(三角錐RーGHF)−(三角錐RーCPQ)」

です

このような立体を

「三角錐台」と言います

問題の最初の図形の

ままで考えるのは

難しいので

CG、QF、PH

を延長して三角錐を作ります

ここがこの問題のポイントです

  • QC//FG(平行線と線分の関係)
  • △PQC∽△RFG

のどちらかを利用して

RCを求めましょう

あとは

  • (三角錐RーGHF)−(三角錐RーCPQ)
  • 体積比(割合)を利用

で体積を

求めることができます

相似な立体の表面積・体積のまとめ

かずのかず

以上、「数学嫌いな人が、

数学を楽しく好きになって欲しい」

かずのかずぶろぐでした