中1数学

【中1数学】「空間内の平面と直線」の問題 どこよりも簡単な解き方・求め方

今回は

「平面」と「直線」の

関係の問題です

「算数」で学習した

「垂直」「平行」が

出てきます

問題を解く時に

「立方体」で考えると

分かりやすいので

「立方体」を

早く書けるようにしておく

ことも重要ですよ

では、一緒にやっていきましょう

平面の決定

一番簡単な図形は

何か分かりますか?

それは「点」です

その「点が2つ」になると

「線分」になりますね

では「点が3つ」になると…

「面」を表すことができるようになります

ここでは

その「面」を

「平面」と呼んでいます

平面

平に限りなく広がっている面のこと

もちろん「数学」ですから

「限りなく」

書くことはできません

ただ、頭の中では

「限りなく」あると

考えましょう

平面の決定
  1. 一直線上にない3点を含む面(ちなみに一直線上の3点は直線ですね)
  2. 一本の直線とその上にない1点を含む面
  3. 平行な2直線を含む面
  4. 交わる(垂直な)2直線を含む面

平面の決定とは

上の①〜④の点や直線がある面が

「1つ」しかない(に決まる)

という意味です

ノートを見てもらうと

分かりやすいと思うのですが

①の点3つ(A B C)が

基本の考え方になります

②の直線は

「点B Cを通っている」

③の2直線は

ℓが「点A Bを通っている」

mは「点C を通り直線ABに平行」

④の直線は

mが「点A Cを通っている」

ℓは「点Bを通る直線」

と見ることもできます

ちょっと説明が長くなりましたね…

ノートのまま

「平面の決定は4種類ある」

それぞれをしっかり

覚えてくれれば大丈夫です

2直線の位置関係

次に

「2直線の関係」です

3種類あります

  1. 交わる(90°だと垂直)
  2. 平行
  3. ねじれの位置

「交わる」と「平行」は

大丈夫ですよね

新しく出てきたのが

「ねじれの位置」です

ねじれの位置

空間内の2直線が

平行でなく交わらない時の

2直線の関係のこと

難しそうに見えますが

次のやり方を

おさえると簡単にできます

ねじれの位置の見つけ方
  1. 交わる直線に印をする
  2. 平行な直線に印をする
  3. 印の入っていないものが「ねじれの位置」です

①と②は反対でも大丈夫です

「ねじれの位置」を

探すのではなく

「交わる」「平行」を探した

後の残りが「ねじれ」です

ノートにも

辺に印を入れているので

図形と問題をよく見て

解いていきましょう

直線と平面の位置関係

次は

「直線と平面の位置関係」です

3種類あります

  1. 直線は平面上にある
  2. 交わる
  3. 平行である

②の「交わる」関係を

少し詳しく見ていきましょう

「垂直になる時」ですが

ノートには2本しか

書いていませんが

「平面上の全ての直線」と

「垂直」にならないと

直線ℓと平面Pは垂直にならないです

自分で鉛筆やペンを使って

確かめてみても

分かりやすいと

思いますよ

点と平面の距離

ノートの下にあるように

「数学」の「距離」は

「最短距離」(一番短い距離)

のことです

点と平面の距離は

点から平面に垂線を引いた時の

垂線(線分)の長さのことです

練習問題

⑴は

直線ABとあるので

立方体の辺ABを

伸ばして考えましょう

⑵の三角錐ですが

「高さ=最短経路=垂線」

となりますね

図では

「90°に見えないこと」が

よくあるので

気をつけましょう

三角錐だけでは

考えにくい時は

立方体(直方体など)に

して考えてみましょう

2つの平面の位置関係

最後は

「2つの平面の位置関係」です

2種類あります

  1. 交わる
  2. 平行である

ノートでしっかり

確認したくださいね

練習問題

直方体から三角柱を切り取った

「立体」の問題です

面CGHDが斜めになっているので

気をつけましょう

⑵では

辺BFは直線CGと

「平行でなく」

「交わらない」ように

見えますが

「直線」BFなので

伸ばして考えます

  • BFを「上に伸ばす」
  • CGを「左上に伸ばす」と

交わるので

「ねじれの位置」には

なりませんね

空間内の平面と直線のまとめ

・平面

平に限りなく広がっている面のこと

・平面の決定

  1. 一直線上にない3点を含む面(ちなみに一直線上の3点は直線ですね)
  2. 一本の直線とその上にない1点を含む面
  3. 平行な2直線を含む面
  4. 交わる(垂直な)2直線を含む面

・2直線の位置関係

  1. 交わる(90°だと垂直)
  2. 平行
  3. ねじれの位置

・ねじれの位置

空間内の2直線が

平行でなく交わらない時の

2直線の関係のこと

「交わる」「平行」以外が

「ねじれの位置」になります

・直線と平面の位置関係

  1. 直線は平面上にある
  2. 交わる
  3. 平行である

・点と平面の距離

点と平面の距離は

点から平面に垂線を引いた時の

垂線(線分)の長さのことです

・2つの平面の位置関係

  1. 交わる
  2. 平行である
かずのかず

以上、「数学嫌いな人が、

数学を楽しく好きになって欲しい」

かずのかずぶろぐでした