前回まで
平方根(根号を含む式)
について学習してきました
今回から
新しい単元です
中1で「一次方程式」
中2で「連立方程式」
を学習しましたね
中3では
「二次方程式」を学習します
では
一緒に見ていきましょう
二次方程式とは
平方根の単元で
ノートのような問題が
ありましたね
○の平方根は→±$\sqrt{ ○ }$
でしたね
この「○」を
「$x$」として考えてみると
ノートのような問題になります
答え方は
平方根のように
「±(プラスマイナス)」
をつけて2つの解を
まとめて書いても大丈夫です
「$ax^2=b$型」の問題
「$x^2＝○$」
の式になるまでは
「一次方程式」で
行った計算と同じです
- 移項
- 等式の性質
を利用しましょう
- 文字の項(左辺)＝数字の項(右辺)へ移項する
- 左辺の文字の係数で両辺を割る
- 右辺の「平方根」を考える
- 解が（±）2個あることを確認する
一番、「単純な」式の
問題です
（1）（2）（3）
は移項する必要はないので
最初から
文字の係数で割りましょう
（6）は
解が分数になる問題です
「$(x +m)^2＝n$型」の問題
- $(x +m)$の式を別の文字「$A$ (等)」に置き換える
- $A^2＝n$とする
- $ax^2=b$と同じ方法で解ける
- 「$A$」を元の$(x +m)$に戻す
- $m$を移項する
「展開」や「因数分解」の
別の文字に「置き換える」
を利用した方法です
「$x^2 +px +q＝0$型」(平方完成)の問題
- 文字の項(左辺)＝数字の項(右辺)へ移項する
- $x$の「係数の半分の2乗」を両辺に足す
- $(x +m)^2＝n$の形にする
- $(x +m)^2＝n$と同じ方法で解ける(わざわざ別の文字に置き換えなくても良い)
「係数の半分の2乗を両辺に足して、$( )^2$の形にする…」
言葉にすると「？」ですね…
少し詳しく見ていきましょう
（1）
「$x^2 +4x$」を見て
「$(x +2)^2$」で作ることができると考える
$(x +2)^2＝x^2 +4x +4$
と「＋4」が出てくるので
最初の式の両辺に「＋4」を足す
- $x^2 +4x＝2$
- $x^2 +4x +4＝2 +4$
- $(x +2)^2＝6$
ここまで計算すれば
大丈夫ですね
この両辺に足す数の
求め方ですが
（3）を使って
見てみましょう
（3）は
両辺に「+9」を足します
「$x^2 −6x−3＝0$」の
「$−6x$」の
「−6」→(半分)→「−3」→(2乗)→「＋9」
となります
このようにして
「$( )^2$」の項を
作って計算していくので
「平方完成」
と呼ぶこともあります
この「平方完成」の
やり方ですが
いくつか注意点があります
②③は
最初に学習するときは
最初から「その形」に
なっていることも多いので安心してください
③は係数が「奇数」の時も
利用することはできるのですが
計算が少し複雑になるので注意しましょう
二次方程式とその解き方のまとめ
・二次方程式
「($x$の二次式)＝0」となる
方程式のこと
一次方程式と同じように
- $x$を求めること…「方程式を解く」
- 方程式の答え…「解」
と言います
・$ax^2=b$型の解き方
- 文字の項(左辺)＝数字の項(右辺)へ移項する
- 左辺の文字の係数で両辺を割る
- 右辺の「平方根」を考える
- 解が（±）2個あることを確認する
・$(x +m)^2＝n$型の解き方
- $(x +m)$の式を別の文字「$A$ (等)」に置き換える
- $A^2＝n$とする
- $ax^2=b$と同じ方法で解ける
- 「$A$」を元の$(x +m)$に戻す
- $m$を移項する
・$x^2 +px +q＝0$形の解き方
- 文字の項(左辺)＝数字の項(右辺)へ移項する
- $x$の「係数の半分の2乗」を両辺に足す
- $(x +m)^2＝n$の形にする
- $(x +m)^2＝n$と同じ方法で解ける(わざわざ別の文字に置き換えなくても良い)
②の両辺に足す「数」
「$x$」の「係数」
→(半分)→(2乗)→「数」
で求める
以上、「数学嫌いな人が、
数学を楽しく好きになって欲しい」
かずのかずぶろぐでした
